Андрей Чернов. ПОСТОЯННАЯ КАПРЕКАРА – ЗОЛОТАЯ СИММЕТРИЯ ЧИСЛА 6174 ДЛЯ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Выберем любое четырёхзначное число n, больше 1000, в котором не все цифры одинаковы. Расположим цифры в одном числе в порядке убывания, а в другом в порядке возрастания. Вычтем из большего числа меньшее. (При перестановке цифр и вычитания, нули следует сохранять.) Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.

Это свойство числа 6174 открыл в 1949 г. индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар.

Например, для числа 1001:

1100 ¬– 11 = 1089 →
9810 – 189 = 9 621 →
9 621 – 1269 = 8 352 →
8532 − 2358 = 6174

Для числа 1100:

1100 − 11 = 1089 →
9810 − 189 = 9621 →
9621 − 1269 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174

Для числа 3412:

4321 − 1234 = 3087 →
8730 − 378 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174

Для числа 8753:

8753 – 3578 = 5175 →
7551 – 1557 = 5994 →
9954 – 4599 = 5355 →
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 288 = 8532
8532 − 2358 = 6174

Произведем это преобразование с самим числом Капрекара и за один шаг получим само это число:

7641 – 1467 = 6147

Так в один шаг и для числа 7531:

7531 – 1357 = 6174

В результате таких зеркальных преобразований и последовательных вычитаний происходит некая гармонизация числового ряда. А потому мне пришло в голову, что результат, то есть сухой остаток (число 6174) может быть как-то связано с геометрической симметрией золотого сечения.

Не знаю, заметил ли кто до меня, но для четырехзначных чисел оно так и есть.

Исключаем из подсчета девять четырехзначных чисел, которые априори не могут быть преобразованы по алгоритму Капрекара: 9999; 8888; 7777; 6666; 5555; 4444; 3333; 2222; 1111

Получаем число 9990

9990 – 999 = 8 991
9981 – 1899 = 8 082
8820 – 288 = 8 532
8532 – 2358 = 6 174
9990 : Ф = 6 174,2…

При умножении 6174 на Ф = 9989,74… → 9990
где Ф чисто золотого сечения 1,6180339887…

Вспомним о числах Фибоначчи. Это элементы числовой последовательности, смежные члены которой дают всё более точное приближение к золотому числу Ф: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711…

Заметим еще, что во многих примерах, дающих число Капрекара, на последнем шаге из 8532 вычитается 2358. Оба этих числа состоят из начальных цифр ряда Фибоначчи, и, более того, деление одного числа на другое дает 3,6183…, что до третьего знака по запятой равно Ф + 2, или Ф в квадрате + 1.