Нужно ли всегда определять ОДЗ при решении уравнений и неравенств?

Это сообщение для «математических зануд», поэтому «нормальных» людей прошу далее не читать.

Наша дискуссия с Михаилом Носоновским (Michael Nosonovsky) о том, определять ли заранее Область Допустимых Значений (ОДЗ) переменных при решении уравнений, показала, что даже продвинутые специалисты в точных науках не очень представляют себе суть нового подхода. Поэтому приведу здесь два способа решения простого уравнения, и сразу станет ясным, о чем идет речь.

Итак, пусть требуется решить иррациональное уравнение
√(х^2 -4) = √(3х). Здесь х^2 — это х в квадрате.
ПОДХОД ПЕРВЫЙ («классический»).
Прежде всего определим ОДЗ для этого уравнения. Для этого надо решить систему двух неравенств: (х^2 -4)>=0 и 3х>=0. Первое неравенство имеет решением совокупность (объединение) двух интервалов: x>=2 или x=<-2. Вместе с условием x>=0 получаем ОДЗ в виде неравенства x>=2.
Теперь переходим непосредственно к решению уравнения. Возводим обе части в квадрат и освобождаемся от радикалов, получая следствие исходного уравнения: (х^2 -4) = 3х
Оно имеет два корня х=4 и х=-1. Теперь проверяем, принадлежат ли они ОДЗ: первый принадлежит области х>=2, а второй нет. Поэтому решением исходного уравнения будет только один корень x=4.
Заметим, что при этом подходе мы пользовались теоремой о том, при возведении обеих неотрицательных частей уравнения в квадрат и освобождении от радикалов мы не можем потерять корни. Формально нужно еще сделать проверку, что х=4 удовлетворяет исходному уравнению, так как переход с освобождением от радикалов был не равносильным. И только после этого можно писать ответ: х=4.

Как видим, в первом способе половина решения состоит в поиске ОДЗ, искать которую по формулировке задачи вовсе не требовалось.

Теперь рассмотрим ВТОРОЙ ПОДХОД.
Мы будем пользоваться теоремой о том, что уравнение (√f)=(√g) равносильно системе уравнения f=g и неравенства g>=0.
Тогда исходное наше уравнение √(х^2 -4) = √(3х) равносильно системе уравнения (х^2 -4) = 3х и неравенства 3х>=0. Эта система имеет единственное решение х=4, которое и будет решением исходного уравнения.

Как видите, второй подход вдвое короче и проще первого. Никакого ОДЗ нам вычислять не нужно. И никаких проверок делать тоже не нужно, так как все переходы были равносильными.

Надеюсь, преимущества нового подхода очевидны.

Share
Статья просматривалась 1 840 раз(а)

1 comment for “Нужно ли всегда определять ОДЗ при решении уравнений и неравенств?

  1. Александр Биргер
    4 сентября 2017 at 19:15

    E.M.B.
    Теперь рассмотрим ВТОРОЙ ПОДХОД.
    Мы будем пользоваться теоремой о том, что уравнение (√f)=(√g) равносильно системе уравнения f=g и неравенства g>=0.
    Эта система имеет единственное решение х=4, которое и будет решением исходного уравнения.
    ::::
    Даже не будучи мат.занудой, но сосредоточив свой склероз и вспоминая крохи из мат.курсов (полвека — зазор),
    преимущества нового подхода очевидны — без вычисления ОДЗ. Однако, что если g<0 и что, если математику начать применять
    для гуманитарных задач, где ОДЗ так неопределённы? Вопрос почти риторический, но Математика — мать
    всех наук. Так заманчиво все ОДЗ вычислить по науке.

Добавить комментарий