Автор: Последнее время часто приходится говорить про неконсистентные логики, то есть про логические системы или модели, в которых помимо истинных и ложных могут быть высказывания, которые и не истинны и не ложны, либо истинны и ложны одновременно. Неконсистентность обычно возникает при работе с понятиями умозрительными, не данными нам как явления. Как правило неконсистентность проявляется там, где есть парадоксы, то есть логические противоречия.
В этой заметке речь сначала пойдет о типичных ситуациях, в которых возникают парадоксы. Это самореференция (утверждения, ссылающиеся на себя), парадоксы бесконечности, континуума и границы (на множестве действительных чисел). Затем я расскажу про связь парадоксов с неустойчивостями в физике / механике.
Парадоксы самореференции
Типичные парадоксы — это парадоксы самореференции. Например, высказывания вроде «это высказывание ложно«. Оно не может быть ни истинным, ни ложным. Ведь если оно истинно, то оно ложно, а если оно ложно, то оно истинно. Вот и приходится дополнить истинные и ложные высказывания третьим классом, парадоксальными. В результате нарушается логический закон исключения третьего (tertium non datur) согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. Обратим внимание на то, что в случае парадоксов самореференции парадоксальное явление относится не к материальным объектам реального мира, а к умозрительным конструкциям — это высказывание о высказывании.
Парадоксы границ
Другой важный тип парадоксов связан с парадоксами границ. Человек, выходящий из комнаты и находящийся в дверном проеме, по соображениям симметрии не может считаться ни находящимся внутри, ни находящимся снаружи (либо должен считаться находящимся и внутри, и снаружи одновременно). Таким образом, если для объекта Х определить предикат находится внутри(Х), и считать определением «находится снаружи» его отрицание (находится внутри(Х) = FALSE), то закон исключения третьего для него не действует.
Конечно, кто-то возразит, что нет нужды городить огород и вводить странную небинарную логику. Можно вместо этого определить три предиката: находится внутри(Х), находится снаружи(Х), находится на границе(Х). Тогда одно из трех утверждений всегда будет верно.
Но есть причина, по которой сделать это может быть невозможно. Дело в том, что «находиться внутри» — вполне конструктивный, проверяемый предикат. Чтобы проверить, находится ли например, кот внутри комнаты, достаточно тщательно осмотреть комнату и все ее закоулки. А вот «кот находится снаружи» — не проверяемое практически утверждение. Мы не можем обыскать всю вселенную, чтобы проверить, есть ли где-то кот. «Внутри» — проверяемое понятие, «снаружи» — сопряженное ему умозрительное понятие. Поэтому утверждение «кот находится снаружи» мыслится как отрицание утверждения «кот находится внутри». Вот и получается, что «находиться снаружи» — отрицание «находиться внутри». Однако выясняется, что есть еще и третий вариант — «находиться на границе» (то есть и внутри и снаружи одновременно).
Но может быть, никакой границы не существует? Граница — это иллюзия, это воображаемая линия без толщины. Почему бы не заявить, что границы не существует, и забыть о ней?
Парадоксы непрерывного континуума
Увы, от парадокса границы так легко не отделаться. Это связано с представлением о непрерывности, точнее — о действительных числах. Континуум действительных чисел организован таким образом, что в нем всегда есть пограничный элемент, нарушающий симметрию. Множества положительных X > 0 и отрицательных X < 0 чисел разделены числом X = 0, которое по соображениям симметрии не может быть отнесено ни туда, ни сюда, что портит всю бинарную аристотелеву логическую систему.
Таким образом, говоря о континууме, помимо высказываний "нечто положительно" и "нечто отрицательно" встречаются странные случаи, когда нечто равно нулю. На первый взгляд это кажется маловажным и тривиальным наблюдением. Ведь все реальные измерения делаются с определенной точностью и имеют погрешность. Поэтому пограничный случай точного X=0 совершенно невероятен. Однако когда система рассматривается параметрически, от существования в ней пограничных зон не удастся отделаться, они задают ее топологическую структуру.
Но может быть можно вообще отказаться от непрерывности, раз для ее описания нужны действительные числа? Разве нельзя обойтись дискретными числами? Возможно. Но в этом случае возникают другие логические проблемы. Движушийся или изменяющийся объект тождественен сам себе пока можно проследить его непрерывную траекторию. Таким образом, без понятия непрерывности трудно соблюсти другой важный закон — закон тождества. Любой предмет, о котором идет разговор, должен оставаться самим собой.
Парадоксы в ситуации, когда умозрительное дополняет непосредственно измеримое
Парадоксы зачастую возникают в ситуации очень типичной мыслительной конструкции. Одно понятие взято из непосредственного опыта, из реального мира. Например, «находиться внутри комнаты». Оно проверяемо и, как говорят математики, конструктивно. Противопоставляемое ему «сопряженное» понятие является сконструированным, умозрительным. Например, «находиться вне комнаты». Подобным образом сопряженные понятия встречаются в физике (сила и перемещение, температура и энтропия, электрический ток и напряжение — преобразование Лежандра служит для перехода между ними).
Как и в случае парадокса границы, зачастую умозрительное понятие, приводящее к неконсистентности, является предельным случаем. Число X = 0 является пределом открытого интервала [-1..0[, который превращает его в закрытый интервал [-1..0].
Интересна также ситуация разделения понятий на два класса. Например, понятие пустого пространства. Чтобы говорить о пространстве, нужно отделить его от материи. Пространство — это то, что остается, если материю убрать. Но тогда невозможно рассуждать ни о каких свойствах пространства (например, даже о его размерности), ведь мерные линейки или другие измерительные приборы — это тоже материальные объекты. Именно поэтому понятие пустого пространства самопротиворечиво по Аристотелю, природа не терпит пустоты (Natura abhorret vacuum).
К тому же типу можно отнести разделение высказывания (предложения) на субъект и предикат. Подлежащие и сказуемые не похожи на действительные числа. Субъект конкретен, а предикат абстрактен, подобно тому как физический объект конкретен, а пространство абстрактно. При этом пространство парадоксально (внутренне противоречиво и требует небинарной логики), очевидно, предикат тоже парадоксален.
Парадоксы в богословии и схоластика
Идея логики парадоксов коренися в средневековой схоластике, где само представление об абсолюте, то есть о Боге, было полно противоречий. Может ли Бог создать камень, настолько тяжелый, что он сам не сможет его поднять? Если Бог всеведущ и знает будущее, то каким образом человек может проявить свободу воли и изменить будущее? Одним из центральных теологических представлений является идея об одновременной трасцендентности (то есть о «потусторонности», противопоставленности миру) и имманентности (то есть о вездесущии, присутствии в каждой точке) божества. Богословы тем или иным способом решали эти противоречия, например, каббалисты утверждали, что при первоначальном акте творения Бог ограничил или «сжал» себя, оставив место для мира и поделившись свободой воли с человеком. Естественно, если мыслить мир как созданный в результате парадокса, то парадоксальность будет присуща ему и в дальнейшем.
Однако цель неконсистентных логик вовсе не в их применении к теологии. Одна из практических причин, ведущая к их развитию — создание баз знаний и экспертных систем, отдельные положения которых могут противоречить друг другу. В рамках классической логики это делает недействительной всю базу знаний, ведь из ложного высказывания может следовать любое. Однако в рамках неконсистентных логик такие противоречащие высказывания изолируются.
Нас гораздо более интересуют парадоксы в физике, причем в ее классическом разделе — в механике.
Парадоксы неустойчивости
Одна из парадоксальных ситуаций связана с логической несовместимостью закона сухого трения (закона Кулона) с классической механикой твердых тел. Это так называемые парадоксы Пенлеве, когда в довольно простой механической системе, состоящей из твердых тел, решения не существует или оно не единственное. Дело в том, что направление вектора силы кулонова (сухого) трения зависит от направления скорости движения (трение направлено в противоположную сторону). В парадоксальных ситуациях вы делаете предположение о направлении движения, например, тело движется в сторону увеличения координаты Х, и, следовательно, трение направлено в противоположную сторону. Но решение на основе такого предположения получается с движением в сторону уменьшения координаты Х, т.е. сонаправлено силе трения, что невозможно. Тогда вы делаете предположение о направлении движения в сторону уменьшения координаты Х, но в этом случае решение получается с движением в сторону увеличения координаты Х. Выходит, задача не имеет решения.
Если предположить деформируемость твердых тел (то есть добавить в задачу упругость), то парадокс обычно исчезает. Но в этом случае возникает другая проблема: задачи теории упругости с трением могут вести к динамическим неустойчивостям. Если вдуматься, то это понятно. Ситуация, когда скорость, направленная в одну сторону, приводит к движению в противоположном направлении, а движение в противоположном направлении, наоборот, приводит к движению в изначальном направлении, и так далее, очень похожа на неустойчивость, когда система идет в разнос.
Можно ввести логическийпредикат, который принимает два значения Движется(Система)=истинно либо Движется(Система)=ложно. В случае парадокса мы имеем ситуацию Движется(Система)=не определено (а для системы с упругостью — «неустойчиво»). То есть нам приходится отказаться от системы двоичной логики и от закона исключения третьего.
В классической ньютоновской или лагранжевой механике состояние системы материальных точек определяется их координатами и скоростями. Это описание можно дополнить введением логической переменной состояния покоя, которая принимает значение «истина» когда система покоится, «ложь» когда система движется и «неопределено» в третьем случае. На роль третьего случая может подойти отсутствие или неединственность решения, неустойчивость или сверхмедленное движение. При этом если любая часть системы неустойчива, то системя целиком является неустойчивой, таким образом для переменной состояния покой действует оператор конъюнкции.
Потеря устойчивости в механике, задача Эйлера и парадоксы
Неустойчивые решения в физике зачастую отбрасываются. Обычно при этом говорят, что в случае неустойчивости любая малая флуктуация начинает расти, и решение не реализуется. Однако существуют ли твердые логические основания для такого утверждения?
В точке седловидной бифуркации единственно устойчивое решение уравнения сменяется тремя решениями, из которых два устойчиво и одно неустойчиво.
Еще более интересна ситуация с классической задачей Эйлера о потере устойчивости при сжатии упругой колонны или балки (buckling по-английски). При небольшой сжимающей нагрузке существует только тривиальное решение с нулевой деформацией. Но при достижении определенной критической нагрузки возникает решение с изогнутым профилем балки, причем амплитуда изгиба произвольна. Это типичная задача на собственные значения [A]x=lx, в которой собственные значения ln оператора обеспечивают решение соответствующего характеристического уравнения det(A-lI)=0, при этом собственные функции xn определены с точностью до множителя. Величина критической сжимающей нагрузки для балки длины L и жесткости EI была найдена Эйлером Pcr = Pn = (n Pi)2EI/L2.
При обсуждении критической нагрузки студенты иногда задают вопрос, а что будет, если величина сжимающей силы превосходит критическое значение P>P1 (а не точно ей равна P=P1)? Восстанавливается ли устойчивость? Ответ на этот вопрос — отрицательный. При значениях сжимающей силы больших чем критическое, соответствующее первой моде потери устойчивости, балка разрушается, хотя формально эти значения ничем не хуже, чем случаи, когда сила меньшие критической. Более того, более высокие моды изгиба (вторую, третью и так далее) никто не наблюдал на практике. Такие решения можно считать логически противоречивыми, поскольку в них нарушается единственность.
Как и в случае с неустойчивым движением, классическое описание здесь можно дополнить логической переменной состояния покоя, характеризующей устойчивость. При этом неустойчивое состояние не считаетсыа ни покоем, ни детерминированным движением.
Подробнее про парадоксы Пенлеве и использование троичной логики для их разрешения: «Речка движется и не движется» https://blogs.7iskusstv.com/?p=63680
О применнии троичной логики для решения парадоксов трения и неустойчивости Nosonovsky, M.; Breki, A.D. Ternary Logic of Motion to Resolve Kinematic Frictional Paradoxes. Entropy 2019, 21, 620. https://doi.org/10.3390/e21060620