НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ

У академика Андрея Николаевича Тихонова биография непростая. Начинал он вундеркиндом, в возрасте 20 лет ввел новое математическое понятие «произведение топологических пространств», позднее названное «тихоновским произведением», доказал теоремы о бикомпактности произведения бикомпактных пространств и о существовании неподвижной точки при непрерывных отображениях в топологических пространствах. Благодаря этому стал самым цитируемым математиком на Земле — на тихоновское произведение ссылались тысячи работ по топологии и функциональному анализу. Помимо чисто математических задач довольно рано стал заниматься прикладными. В 31 год стал сотрудником Института теоретической геофизики и уже через два года его избирают членом-корреспондентом АН СССР по специальности «геофизика». Казалось бы, что скоро должно последовать и звание академика. Андрей Николаевич участвовал во всех выборах академиков после 1939 года. И почти тридцать раз его прокатывали. Представляете его состояние? За это время он был избран членкором по специальности «математическая физика», награжден многими орденами за участие в атомном проекте, получил Героя соцтруда, Сталинскую премию… Но звание академика никак не давалось. Прорыв произошел, когда Тихонову стукнуло 60. К этой дате вся «школа Тихонова» (а он был завкафедрой математики на физфаке и зав. кафедрой вычислительной математики на мехмате) готовилась основательно. Тихонов выступил как создатель теории некорректных, или неустойчивых задач. Эта теория была очень широко и эффективно разрекламирована, и в 1966 году Андрея Николаевича, наконец, избрали академиком и наградили Ленинской премией. Цель была достигнута спустя четверть века.

А.Н.Тихонов

Что интересно: вначале своей деятельности Тихонов и его группа отрицала проблему устойчивости, которая так помогла ему в его восхождении в Академию. Вот воспоминания академика Халатникова, непосредственно работавшего в том же направлении при создании атомной и водородной бомб.
Из интервью Геннадию Горелику:
» Теперь о задаче, которая перед нами возникла. Нам нужно было решать уравнение в частных производных. Эти задачи решаются так, что у вас есть в начальный момент какие-то данные, как функции координат, дальше нужно находить в каждый следующий момент времени соответствующие параметры, характеризующие эту систему. Здесь очень важно, что интегрирование нужно производить во времени — развитие этого процесса. А уже было известно, что имеется некоторое ограничение на интервал, который можно использовать для интегрирования уравнений. Этот максимальный интервал во времени очень мал, это не физическое, в каком-то смысле, ограничение, но считать вручную уравнения в частных производных, да еще с очень мелким шагом по времени, — это бы отняло у нас годы, а нужно было решать задачу за месяцы. Если вы превысите интервал по времени, то возникает неустойчивость, которая полностью разрушает результаты. Результаты, которые вы будете получать, превращаются в хаотический набор чисел. И вот это была главная задача, которую впервые нам с Ландау и Мейманом удалось решить. В собрании сочинений Ландау есть такая странная работа «Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток». После того как она была рассекречена, была опубликована в материалах некоего математического конгресса и затем в трудах Ландау. Многие не обращают внимания, но иногда задумываются: «При чем Ландау к численным методам интегрирования?»
И.М.Халатников, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц

И.М.Халатников, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц

Надо сказать, что эта задача об устойчивости численных методов была впервые решена в отделе Ландау, у нее три автора. Это было нетривиально вот почему. В отделе у Тихонова считали, что никакой проблемы устойчивости вообще не существует, и из отдела Тихонова высокому начальству докладывалось, что мы выдумали несуществующую проблему. Если не думать об устойчивости, то вместо гладких кривых возникает такая пила. У Тихонова эту пилу сглаживали с помощью лекала и т.д. Это же кустарщина, и, конечно, таким образом никаких достоверных результатов нельзя получить.
И я помню такое историческое заседание, которое проходило в ИФП под председательством М.В.Келдыша, оно длилось несколько дней. На этом заседании мы доказывали, что есть проблема, и что мы ее решили, а группа Тихонова доказывала, что вообще такой проблемы об устойчивости численных методов не существует. Келдыш отличался невероятной ясностью ума и пониманием, и в результате пришли, как теперь говорят, к консенсусу. Консенсус состоял в том, что мы получили приказ от высокого начальства — генерала, который курировал наши работы, — это известное лицо, Николай Иванович Павлов, который возглавлял Главк, занимавшийся созданием бомбы. Мы получили приказ от Павлова передать все наши численные схемы в отдел Тихонова. В дальнейшем у Тихонова начали интегрировать уравнения, и убедились, что разностные схемы, которые мы разработали, наиболее оригинальны, поскольку мы сначала решили вопрос об устойчивости, а потом нашли возможность как обойти трудности. И здесь уже, это мое авторство, так называемые неявные схемы. Сейчас это хорошо известно. Я придумал такие разностные схемы, в которых неизвестные во времени величины будущего, включались в разностные уравнения, т.е. уравнение становилось неявным — не просто следующий шаг находится по предыдущему, а еще неизвестное частично включается в предыдущий шаг. Такие схемы уже были решены при ограничении на шаг по времени. Это придумал я, эти неявные схемы необычайно красивы. И они позволили нам считать быстро. Позже эти схемы были усовершенствованы. Усовершенствование придумал И.М.Гельфанд, который работал у Тихонова. Но основная идея неявных схем принадлежит мне. И эти схемы позволили решать задачу не за годы, а за месяцы.
Так что вопрос об устойчивости был решен волевым способом, генерал Павлов приказал Тихонову следовать нашим схемам. Таким образом был снят с повестки дня вопрос об устойчивости численных методов. В дальнейшем, конечно, численные методы развививались в отделе Тихонова очень сильно, когда мы — Ландау , я — уже отошли от этих дел. Писались книги, и многие ученые из окружения Келдыша стали известными специалистами по численным методам, много нового внесли. Проблема развивалась, но начало было сделано физиками».
Share
Статья просматривалась 214 раз(а)

Добавить комментарий