Методологичекие проблемы механики: между метафизикой и махизмом

По базовому образованию я механик, к тому же я Associate Professor на отделении Mechanical Engineering. Иногда в «философских» или «околофилософских» разговорах мне задают вопросы о механике. Должен сказать, что представления о том, что такое механика, у людей бывает весьма разнообразными. Для гуманитариев и философов обычно механика — это нечто, связанное с Галилеем и Ньютоном, с идеями абсолютного пространства и абсолютного движения, выкинутое на свалку с появлением теории относительности Эйнштейна и превратившееся в прикладную инженерную дисциплину вроде Теормеха и Сопромата, которыми при Советской власти мучали бедных студентов, не попавших на гуманитарные факультеты и по недоразумению оказавшихся в технических ВУЗах.

Для физика механика — это первый и почти тривиальный, самый тонкий том учебника Ландау и Лифшица, где объясняются лагранжианы и гамильтонианы и рассматривается, в основном, движение материальных точек в разных полях. В СССР механика и математика часто изучались на одних факультетах, Матмехах или Мехматах, поэтому математики хорошо знают механику. Но для математиков механика — это прежде всего уравнения динамики и связанные с ними абстрактные геометрические структуры вроде симплектических многообразий с расслоениями, либо уравнения в частных производных задач сплошных сред.

Проблема абсолютного пространства и относительного движения действительно была центральной «философской» проблемой для механики в прошлом. Почему инерциальные системы отсчета в мeханике выделены? Относительно чего рассматриваетcя инерциальное движение? Существует ли некое абсолютное пространство, отличное от физических тел, в этом пространстве находящихся, или же пространство является лишь иллюзией — результатом взаимного расположения тел и отношений между этими телами? Однако с появлением теории относительности в начале ХХ века эти проблема больше не рассматриваются механикой и не являются центральными. Раз и навсегда решено, что инерциальные системы отсчета определены относительно удаленных объектов, таких как галактики, которые в соответствии с принципом Маха дают определенную выделенную систему отсчета. Физики утверждают, что солнечная система движется со скоростью 230 км/с вокруг центра нашей галактики, а галактика, в свою очередь, движется со скоростью 580 км/с в направлении созвездий Льва и Девы относительно фонового реликтового излучения, которое и создает в нашей вселенной определенную выделенную систему координат. Таким образом, хотя, согласно принципу относительности, законы движения не имеют выделенных систем отсчета, все же можно говорить о выделенности системы, связанной с Большим Взрывом и порожденным им реликтовым излучением. Что же касается независимости существования пространства от физических тел, общая теория относительности раз и навсегда связала пространство и материю воедино. Однако эти соображeния никак не касаются принципов классической механики, поэтому для механика они не слишком-то актуальны.

Есть еще один «философский» аргумент, который иногда приводят, говоря о механике. Механика имет дело с объектами, по своему размеру соизмеримыми с человеком. В этом ее отличие от квантовой физики, изучающей микромир, или от астрофизики, изучающей галактики и вселенную. Все физические понятия, относись они к квантовым эффектам или к галактикам, должны в конечном счете определяться при помощи наблюдаемых человеком величин, то есть должны так или иначе сводиться к механическим понятиям. Поэтому механика всегда останется самым первым базовым разделом физики.

* * *

Как ни странно, наиболее существенными «философскими» проблемами механики оказываются другие вопросы. Прежде чем говорить о них, нужно напомнить одну вещь, которую часто забывают неспециалисты. Механика — это не только ньютонова механика движения материальных точек, которая относительно тривиальна. К механике относится также динамика твердого тела, движение которого гораздо сложнее, чем у материальной точки, поскольку включает вращение и связанные со вращением эффекты, такие как прецессия или нутация. Но основное содержание механики — это механика сплошной среды, т.е. деформируемых твердых тел, жидкостей и газов. Механика сплошных сред основана на тех же принципах, что и ньютоновская механика материальных точек, однако использует континуальные приближения и несколько более сложный математический аппарат: как правило — уравнения в частных производных вместо обыкновенных дифференциальных уравнений и такие понятия, как тензоры механических напряжений и деформации вместо векторов сил и перемещений. Тензор является обобщением понятия вектора. Именно в механике сплошных сред могут проявляться те парадоксы и логические противоречия, которые удается «спрятать под ковер» в механике твердого тела.

Первой из таких проблем я бы назвал вопрос о том, что является более фундаментальным объектом — материальная точка или недеформируемое твердое тело? Материальная точка в трехмерном пространстве имеет три степени свободы. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: три координаты центра масс в пространстве и три угла вращения. Существуют два противоположных подхода. Можно сказать (и такое определение содержится во многих учебниках физики), что материальная точка — это тело, размерами которого можно прeнебречь. А можно сказать, наоборот, что твердое тело — это совокупность материальных точек, расстояние между которыми всегда остается постоянным. В первом случае проблема состоит в том, что во многих ситуациях уменьшение размера не приводит к исчезновению «лишних» вращательных степеней свободы. Например, катящийся без проскальзывания по поверхности диск массы M и радиуса R имеет момент инерции (3/2)МR² и кинетическую энергию (3/4)МV², которая не зависит от радиуса и, поэтому, даже для диска очень малого размера не даст значения кинетической энергии материальной точки, (1/2)МV². Пренебрежение размером не означает пренебрежение вращением. Конечно, можно модифицировать определение и сказать, что материальная точка — это твердое тело, размерами и вращательными степенями свободы которого можно прeнебречь. Но такая модификация определения требует некоторого обоснования — почему, собственно, именно вращательными степенями свободы можно пренебречь, а линейными нельзя? Во втором случае (твердое тело — совокупность материальных точек) эпистемологическая проблема состоит в том, что интуитивно известное и наблюдаемое в повседневной жизни понятие (твердое тело) определяется при помощи понятия абстрактного (материальная точка). Модели сплошных сред, состоящих из микроскопических гироскопов, разрабатывались на рубеже XIX и ХХ веков лордом Кельвином. По-видимому, Кельвин полагал, что при помощи таких моделей можно будет описать «светоносный эфир» и таким образом объяснить электромагнитные явления. Но физика, как известно, пошла по другому пути. В наше время подобные модели иногда используются для описания ферромагнетиков в магнитном поле и для некоторых других целей.

* * *

Корень рассмотренной выше проблемы — в различии поступательного и вращательного движений. Наше эвклидово пространство трехмерно, но это не просто конфигурационное пространство, характеризуемое тремя параметрами-координатами. Эвклидово пространство вдобавок симметрично относительно вращения, и это создает определенную путаницу.

Рассмотрение поступательного и вращательного движений приводит нас ко второй проблеме: сводимо ли одно к другому? Этот вопрос занимал уже древних, и применительно к астрономии он был решен Насреддином Ат-Туси. Хотя уже в древнем Риме использовались шатунно-кривошипные механизмы, на практике переводящие вращательное движение в поступательное. Применительно к механике как мы ее знаем сегодня, вопрос состоит в том, выводится ли закон динамики вращения (т.е. аналог 2-го закона Ньютона для вращения: приложенный момент силы равен угловому ускорению, умноженному на момент инерции) из законов линейного движения материальной точки? Большинство учебников физики утверждает, что да, выводится. Правда, для этого требуется еще одно (казалось бы, очевидное) допущение: что внутренние силы между точками в теле центральны, то есть действуют вдоль прямой линии между этими точками.

Американский механик проф. Клиффорд Трусделл (1919-2000) отмечал, что в механике сплошных сред равновесие сдвиговых компонент тензора напряжeний не может быть выведено из принципа равновесия нормальных компонент. Трусделл далее писал (перевод мой):

«Излагая механику для физиков, обычно его [закон динамики вращения или второй закон Эйлера] выводят из законов Ньютона для элементов массы, воздействующих друг на друга взаимными силами, которые центральны и противоположны друг другу. Хотя формально это доказательство верно, результат оказываетcя слишком специальным для механики сплошных сред и методологически ошибочным для механики твердого тела:

1. Силы, действующие между частичками твердого тела по определению никогда не проявляются ни в каком движении. Условия твердости, приложенного ко второму закону Эйлера, достаточно для определения движения. Предполагать существование [внутренних] сил означает предаваться роскоши предположения избыточных причин, которые должны быть устранены бритвой Оккама.
2. Введение внутренних сил в твердом теле предполагает дальнодействие в ситуации, когда для этого нет оснований.
3. В механике сплошных сред суммарная сила, действующая на тело конечных размеров, возникает обычно из тензора напряжения, представляющего действие со стороны смежного материала. Не существует физических оснований предполагать, что силы возникают только вследствие дальнодействия, и такое предположение не помогает в достижeнии какой-либо цели. Если механика твердого тела рассматривается как частный случай механики сплошных сред, тo напряжения внутри твердого тела неопределены и вообще никогда не должны упоминаться, в то время как плавный переход, основанный на втором законе Эйлера, остается возможным».

* * *

Во многих случаях проблемы оснований механики приводят нас к рассмотрению неоднозначных идей Эрнста Маха (1838-1916), представляющих немалый, прежде всего, исторический интерес. Думаю, будет уместно процитировать нобелевского лауреата физика Стивена Вайнберга (p. 1933), который видел в позитивизме Маха реакцию на кантианское представление об абсолютном пространстве и времени (перевод мой):

«Эпистемологическая доктрина позитивизма (или в некоторых версиях, логического позитивизма) требует, чтобы наука не только проверяла свои теории эксперимeнтальными наблюдениями (с чем вряд ли можно спорить), но и чтобы каждый аспект теории в любом утверждении соотносился с наблюдаемыми величинами. То есть, хотя физические теории могут содержать аспекты, которые еще не исследовались путем наблюдений и которые будет слишком дорого исследовать в этом году или в следующем году, недопустимо, чтобы наши теории имели дело с элементами, которые в принципе не могут никогда наблюдаться.

Фигурой, чаще всего ассоциирующейся с введением в физику позитивизма, является Эрнст Мах, физик и философ из Вены рубежа веков, для которого позитивизм служил прежде всего противоядием метафизике Иммануила Канта. Эйнштейн демонстрирует явное влияние Маха в статье 1905 года о специальной теории относительности, которая полна наблюдателей, измеряющих время и расстояние, часов, линеек и световых лучей. Позитивизм помог Эйнштейну освободиться от идеи, что у утверждения об одновременности двух событий есть абсолютный смысл. Он обнаружил, что никакое измерение не может обеспечить критерий одновременности, которaя была бы одинаковой для всех наблюдателей…

Несмотря на пользу для Эйнштейна и Гейзенберга, позитивизм причинил вреда не меньше, чем пользы. Однако в отличие от мeханицизма, позитивизм сохранил героическую ауру и выжил, чтобы причинять ущерб и в дальнейшем. Джордж Гайл (George Gale) даже обвиняет позитивизм в нынешнем отчуждении между физиками и философами. Позитивизм был главной причиной возражeний против теории атомов в начaле ХХ века. В XIX векe произошло замечательное развитие старой идеи Демокрита и Левкиппа о том, что вся материя состоит из атомов, когда теорию атомов использовали Джон Дальтон, Амадео Авогадро и их последователи, чтобы объяснить законы химических реакций, свойства газов и природу тепла. Атомная теория стала частью принятого языка химии и физики. Однако позитивистские последователи Маха видели в этом отклонение от подобающей научной процедуры, поскольку атомы было невозможно наблюдать при помощи существовавшей тогда техники.»

Приведенная выше критика Трусделлом понятия внутренних сил в твердом теле («избыточные причины, которые должны быть устранены бритвой Оккама») в сущности является махистской; средневековый принцип Оккама о недопустимости введения излишних сущностей близок идее о недопустимости ненаблюдаемых аспектов теории.

Еще дальше идет последователь Трусделла, Уолтер Нолл (p. 1925), который в своем эссе «Oб иллюзии физического пространства» предлагает хомскианское представление об инерциальных системах отсчета (перевод опять мой):

«Таким образом похоже, что предрасположенность сосредотачиваться на какой-либо конкретной системе отсчета прошита в нашем мозгу с рождения подобно способности усваивать язык. Какую именно систему отсчета мы считаем неподвижной (или какой язык выучим) зависит от окружающей среды. Обычно среда определяет такой выбор. Когда мы говорим о движении, мы имеем в виду движение относительно неподвижной системы отсчета, не осозновая этого. Иногда мы можем сосредоточится на системах отсчета, которые более чем неподходящие.»

* * *

Еще одной проблемой, имеющей концептуальный, философский характер я бы назвал проблему взаимоотношения статики и динамики. Механика традиционно делится на три раздела: статика (изучение сил без рассмотрения движения), кинематика (изучение движения без рассмотрения сил) и динамика (изучение сил и движения). Обычно статика изучается прежде динамики. Было бы логично ожидать, что понятия сил и напряжений определяются в статике и затем используются в динамике. На деле же затруднительно дать определение понятия «силы», не прибегая к движению.

В механике и в термодинамике многие параметры появляются попарно. При этом зачастую один параметр можно измерять непосредственно, а его сопряженный должен быть вычисляем непрямым способом (часто используя понятие энергии). Например, силы и перемещения входят в выражение для внутренней энергии dU = F dx. Перемещение измеряется непосредственно, а чтобы измерить силу, нужно откалиброванное устройство, которое измеряет, например, отклонение пружинки под действием силы, то есть, опять же — перемещение. В статике, где ничто не меняется (а значит и стрелки приборов не отклоняются), невозможно дать определение силы или кинетической энергии.

Физик-нобелевский лауреат Фрэнк Вилчек (Frank Wilczek) критикует понятие силы, приводя «психологический» (то есть махистский) аргумент, почему «культура силы» существует в механике (мой перевод):

«Я хочу завершить психологическими замечаниями о том, почему понятие силы было введено в основаниe механики и обычно там остается, хотя с логической точки зрения понятие энергии выполняло бы тy же функцию не хуже и даже лучше. Тот факт, что изменения импульсов — которые по определению соответствуют силам — наблюдаемы, в отличие от изменений энергии, несомненно играет важную роль. Другая причина в том, что будучи в статических ситуациях, например, когда мы удерживаем вес, мы явно чувствуем что мы делаем нечто, даже если механической работы не производится. Сила является абстракцией этого чувственного опыта утомления. Предложенную Даламбером замену, виртуaльную работу, совершаемую на малых перемещениях, почувствовать сложнее. Хотя по иронии как раз подобная виртуальная работа объясняет наше утомление. Когда мы удерживаем груз, отдельные волокна мышц постоянно сокращаются в ответ на сигналы, получаемые от нервных окончаний, которые ощущают малые перемещения.»

Замечу также, что связанная со статикой идея виртуальных, ненаблюдаемых, перемещений и виртуальной работы проявляется и в других областях физики. Например, в электростатике два заряжeнных шара обмениваются виртуальными фотонами, что создает силу кулонова притяжения или отталкивания, согласно объяснению квантовой электродинамики. Однако измерить статическую силу удастся только в динамике, например, при наличии прибора с отклоняющейся стрелкой. Появление виртуальных сил в статике отчасти связано с ситуацией решения однородного уравнения при исчезновении правой части. Как известно из линейной алгебры, уравнения [A]*x=F и [A]*x=0 решаются по-разному: в первом случае путем обращения матрицы x=[A]^-1*F, а во втором случае путем поиска собственных значений при det[A]=0. Аналогично закон дисперсии, связывающий длину волны L и ее скорость V (скорость звука является константой материала) с частотой f, то есть L = V / f в статическом пределе f → 0 имеет новые решения c V=0, соответствующие фурье-разложению статического решения, а не бегущей волне (и интерпретируемые в квантовой электродинамике как виртуальные волны/частицы).

Так или иначе, статика оказывается незамкнутой логически системой, и для определения базовых понятий статики нужна динамика, то есть изменение во времени. Возможность изменения является необходимостью.

* * *

Сами механики имеют разные взгляды на статус своей науки. Мне представлятся интересной точка зрения П. А. Жилина (1942 — 2005), согласно которой «Механика — это не теория какого бы то ни было явления Природы, но метод исследования Природы. В основе механики нет ни одного закона, который хотя бы в принципе мог быть опровергнут экспериментально. В фундаменте механики лежат логические утверждения, выражающие условия баланса неких величин и которые сами по себе не достаточны для построения замкнутых теорий».

Согласно этой точке зрения, механика, подобно математике, оперирует с логическими понятиями, которые не подлежат экспериментальной проверке, поскольку являются логическими построениями. Скажем, второй закон Ньютона может давать определение силы, а не устанавливать какие-либо факты о силах в природе. Если в неком эксперименте обнаружится, что сила не равна массе, умноженной на ускорение, это будет означать необходимость переопределить, чему равна сила (или, возможно — масса?) в данном случае, а не отбросить сам закон.

Развитием позитивистского подхода в ХХ веке стала теория «критического рационализма» Карла Поппера, согласно которой основным критерием научности является возможность экспериментального опровержения («фальсифицируемость») теории. Теория Поппера была направлена против релятивизма и постмодернистского взгляда на истину как относитальное или условное понятие, характерного для некоторых гуманитарных и общественных наук. С математическими науками ситуация иная — они не подлежат экспериментальной проверке (мало кто считает вычисления или доказательства теорем экспериментами), поэтому пафос «критического рационализма» оказывается направленным мимо цели.

Подводя итог, я бы сказал, что основные концептуальные проблемы механики обнаруживаются в тех ситуациях, когда проявляется определенное напряжение между (нео)кантианским и позитивистским подходом. Это, в частности, вопросы о том, насколько вправе мы вводить идеальные понятия, такие как материальная точка, сила или виртуальное перемещение.