Автор: Пара замечаний к методике равносильных преобразований.
Текст ниже – для «математических зануд», нормальный читатель может его пропустить.
Напомню, что «методика равносильных преобразований» предполагает при решении любого уравнения f(x)=g(x) или аналогичного неравенства строить цепочку равносильных объектов О1<=>O2<=>….<=>On, последний из которых имеет явное множество решений, являющееся ответом к исходной задаче. Так как все преобразования равносильные, то никакой ОДЗ предварительно находить не требуется и проверку в конце делать тоже не нужно. Главное, чтобы каждый переход от одного объекта к другому был равносилен, т.е. их множества решений совпадали. На этом пути есть свои сложности, ибо привычные и, на первый взгляд, простые преобразования оказываются неравносильными. Мы рассматривали такую «скрытую» неравносильную операцию «освобождение от радикалов» при решении иррациональных уравнений. Если нужно решить уравнений sqr(f(x)) = sqr(g(x)), то возведение в квадрат будет равносильной операцией: (sqr(f(x)))^2 = (sqr(g(x)))^2, но освобождение от радикалов — нет! Правильным, т.е. равносильным переходом будет переход к системе уравнения и неравенства: f(x)=g(x); g(x)>=0. И дальше нужно решать эту систему, переходя каждый раз к равносильному объекту.
Приведем еще пару преобразований, с виду «безобидных», но которые могут привести к неравносильным объектам.
1. «Приведение подобных членов».
Рассмотрим уравнение f(x) + h(x)=g(x) + h(x). Естественное желание – «сократить» подобные члены в обеих частях уравнения, т.е. убрать из левой и правой частей h(x) и перейти к уравнению f(x)=g(x). Но этот переход может быть неравносильным, так как область определения функции h(x) может быть уʹже, чем у функций f(x) и g(x), и новое уравнение f(x)=g(x) может иметь корни, недопустимые для исходного уравнения. Например, 3x + lgx = lgx. Если мы «сократим» тут lgx, то получим уравнение 3х=0, имеющее корень х=0, но он недопустим для исходного уравнения, т.к. lg0 не определен. Поэтому равносильным переходом от уравнения f(x) + h(x)=g(x) + h(x) будет переход к системе: f(x)=g(x) и h(x) существует.
2. «Сокращение общих множителей»
Тут аналогичная картина. Пусть мы имеем в уравнении дробь f(x)*h(x)/g(x)*h(x) = p(x). Естественное желание сократить общий множитель h(x) и получить более простое уравнение: f(x)/g(x)= p(x). Опасностей здесь две: как и выше, мы можем получить корни, для которых h(x) не определена. Кроме того, полученные корень может обращать функцию h(x) в ноль, а это недопустимо для исходного уравнения, так как h(x) стоит в знаменателе. Поэтому сокращение общих множителей – тоже в общем случае не равносильная операция, и нужно переходить к системе: f(x)/g(x)= p(x); h(x) существует и не равно нулю.