Автор: По установившейся десятилетиями (может быть, пора уже говорить «веками») школьной практике, при решении уравнений с радикалами (так называемых «иррациональных уравнений») от ученика требуют сначала найти Область Допустимых Значений (ОДЗ), а в конце сделать проверку.
Например, пусть требуется решить иррациональное уравнение
√(х^2 -4) = √(3х). Здесь х^2 — это х в квадрате.
ПОДХОД ПЕРВЫЙ («классический»).
Прежде всего определим ОДЗ для этого уравнения. Для этого надо решить систему двух неравенств: (х^2 -4)>=0 и 3х>=0. Первое неравенство имеет решением совокупность (объединение) двух интервалов: x>=2 или x=<-2. Вместе с условием x>=0 получаем ОДЗ в виде неравенства x>=2.
Теперь переходим непосредственно к решению уравнения. Возводим обе части в квадрат и освобождаемся от радикалов, получая следствие исходного уравнения: (х^2 -4) = 3х
Оно имеет два корня х=4 и х=-1. Теперь проверяем, принадлежат ли они ОДЗ: первый принадлежит области х>=2, а второй нет. Поэтому решением исходного уравнения будет только один корень x=4.
Заметим, что при этом подходе мы пользовались теоремой о том, при возведении обеих неотрицательных частей уравнения в квадрат и освобождении от радикалов мы не можем потерять корни. Формально нужно еще сделать проверку, что х=4 удовлетворяет исходному уравнению, так как переход с освобождением от радикалов был не равносильным. И только после этого можно писать ответ: х=4.
Как видим, в первом способе половина решения состоит в поиске ОДЗ, искать которую по формулировке задачи вовсе не требовалось.
Теперь рассмотрим ВТОРОЙ ПОДХОД (с равносильными преобразованиями).
Мы будем пользоваться теоремой о том, что уравнение (√f)=(√g) равносильно системе уравнения f=g и неравенства g>=0. Ниже мы ее докажем.
Тогда исходное наше уравнение √(х^2 -4) = √(3х) равносильно системе уравнения (х^2 -4) = 3х и неравенства 3х>=0. Эта система имеет единственное решение х=4, которое и будет решением исходного уравнения.
Как видите, второй подход вдвое короче и проще первого. Никакого ОДЗ нам вычислять не нужно. И никаких проверок делать тоже не нужно, так как все переходы были равносильными.
Надеюсь, преимущества нового подхода очевидны.
Выше мы пользовались понятием «равносильность» для уравнений и систем, не давая его точного определения. Пора это сделать, определив заодно, для каких объектов оно применимо. Важно понять, что оставаясь только в кругу уравнений, нам не удастся обойтись одними равносильными переходами. Например, операция освобождения от радикалов при возведении в квадрат приводит к неравносильному уравнению, у которого могут быть «посторонние корни». Это мы видели в рассмотренном выше примере в Первом Подходе. Чтобы переход был равносильным, мы от уравнения должны перейти к более сложному объекту — системе уравнения и неравенства. Поэтому прежде всего определим, с какими объектами мы будем работать далее.
Прежде всего надо выбрать поле чисел, для которых определены объекты. В простейшем случае это поле действительных чисел, точно так же строятся объекты над полем n-мерных векторов и элементов бесконечномерных пространств. Итак, рассмотрим объекты для «одной переменной». Простейшими объектами являются уравнение и неравенство. Для них понятно, что считать множеством решений. А далее объекты определяем рекурсивно. Для каждых двух объектов определяем их систему как объект, у которого множество решений есть пересечение соответствующих множеств, и совокупность этих объектов, множество решений которой есть объединение соответствующих множеств. Этими операциями — системой и совокупностью — покрывается все множество рассматриваемых объектов.
А далее определяются равносильные объекты: у которых множества решений совпадают. И строятся примеры равносильных преобразований, т.е. переходов от одного объекта к другому, равносильному первому. Вот такая обобщающая конструкция для объектов, которые приходится решать. Равносильные преобразования часто приводят к необычным объектам, например, системе совокупностей уравнений и неравенств или совокупности систем и пр.
На письме для систем используется обычная фигурная скобка: {, а для совокупностей — прямая скобка: [.
Мое определение равносильности объектов ничем не отличается от школьного определения равносильности уравнений или неравенств. То, что я сделал и что выходит за рамки школьной программы – это обобщение понятия «объекта», что дало возможность ограничиться при решении одними равносильными преобразованиями.
Определение: два объекта О1 и О2 называются равносильными, если их множества решений совпадают.
Напомню, что значит «два множества совпадают»: это значит, что каждый элемент первого множества есть элемент второго и наоборот, каждый элемент второго есть элемент первого. В применение к объектам это означает, что каждое решение объекта О1 есть решение объекта О2 и наоборот, каждое решение объекта О2 есть решение объекта О1.
Теперь докажем использованную нами теорему.
Теорема. Пусть объект О1 есть уравнение sqr(f) = sqr(g), а объект О2 есть система уравнения и неравенства: f=g; g>=0. Тогда объекты О1 и О2 равносильны.
Доказательство. Просто проверим, что выполнены условия определения равносильности. Пусть х – решение объекта О1. Это значит, что определены выражения f(х) и g(х), а также sqr(f(х)) и sqr(g(х)), причем последние два значения равны: sqr(f(х)) = sqr(g(х)). Отсюда следует, что g(х)>=0 (иначе квадратный корень не был бы определен) и f(х) = g(х) (следствие равенства радикалов). Тем самым, х – является решением объекта О2.
Теперь покажем обратное. Пусть теперь х — решение объекта О2. Это значит, что g(х)>=0, а так как f(х) = g(х), то и f(х) >=0. Из равенства неотрицательных чисел f(х) и g(х) следует равенство их радикалов, т.е sqr(f(х)) = sqr(g(х)), иными словами, х – есть решение объекта О1.
Что и требовалось доказать.
Для проведения в жизнь такого метода решения задач, при котором не нужно заранее искать ОДЗ и в конце решения делать проверку, надо иметь некоторый запас теорем равносильности, чтобы ссылаясь на них, оставаться все время в рамках равносильных преобразований. На письме можно использовать знак равносильного перехода: <=>.