Читая «Математику как метафору» Ю. И. Манина

Прочитал очередную статью Эдуарда Бормашенко (http://7i.7iskusstv.com/2017-nomer5-bormashenko/) про два типа философов, в которой он ссылается на идеи математика Ю. И. Манина. А я как раз недавно прочитал книгу Манина «Математика как метафора» http://www.math.ru/lib/files/pdf/manin.pdf. Книга хорошая, в ней рассыпано множество красивых и интересных идей. Пожалуй, я выпишу сюда свои хаотические записки по поводу прочитанного.

* * *

1. Идеи Манина о происхождении языка что-то меня не впечатлили. В двух словах — там сказано именно то, что он обещает в анонсе. Язык, по его мнению, возник для целей гипноза соплеменников. Центральная фигура — плут-«трикстер». Появлялись такие вот люди с особыми способностями к языкам, они всех гипнотизировали, заставляли работать и оставляли много потомства. Никаких доказательств он не приводит, хотя пишет гламурно и дает много ссылок на модных авторов (не сомневайтесь, что найдете упоминание и Леви-Стросса, и Фрэзера, и Топорова, и Бахтина, и Милетинского, и Аверинцева, и Фрейденберг и т.п.). Много обсуждений Гомера, много устаревших к моменту выхода книги терминов из антропологии, но мало сути. Гипноз возник с возникновением языка. Древние люди до эпохи железа (он так не пишет, пишет «до эпохи Гомера») постоянно «слышали голоса». .

Я не вижу особой разницы между идеей, что язык появился для гипноза соплеменников, и старой доброй советской идеей, что язык появился для совместной трудовой деятельности. Т.е. это как-то недостаточно радикально — была старая шутка, что обезьяна стала человеком, когда придумала использовать палку, чтобы заставить другую обезьяну работать. Это все та же идея постепенного, стадиального появления языка, которая ничего не объясняет.

По-моему, центральный вопрос в этой теме: каким образом язык появился сразу, а не по частям? Манин не только не предлагает ответа на этот вопрос, но даже его не ставит. Ну и бог с ним.

* * *

2. Про естественно-научные взгляды Кантора (а чего бы вы ожидали от человека, которого считали безумцем?):

«Было бы интересно изучить натурфилософию Кантора более подробно. Согласно [], он несколько раз напрямую высказывался о возможных физических приложениях своей теории. Например, он доказал, что если из области в Rn удалить произвольное счетное плотное подмножество (например, все алгебраические точки), то любые две точки дополнения можно соединить непрерывной кривой. Его интерпретация: непрерывное движение возможно даже в несплошных пространствах, так что «наше» пространство также может быть несплошным, поскольку идея непрерывности основана на наблюдении непрерывного движения. Тем самым, надо пересмотреть механику. Выступая на заседании Общества германских естествоиспытателей и медиков в 1883 году во Фрейбурге, Кантор сказал: «Одна из важнейших проблем теории множеств … состоит в том, чтобы выяснить мощности всех множеств, существующих в природе, насколько это возможно».

Похоже, Кантор хотел, чтобы атомы (монады) были настоящими точками, лишенными размера и существующими в природе в бесконечном количестве. «Телесные монады» (массивные частицы? –– Ю. М.) должны существовать в счетном количестве. «Эфирные монады» (безмассовые частицы? –– Ю. М.) должны иметь кардинал алеф-один.»

Ага, Кантор реально верил в актуальные бесконечности как физические объекты!

* * *

3. Теория чисел существует в платоновском мире, а геометрия — в физическoм:

«Вся история теории чисел выглядит как история исследования уже существующего мира, а не как история его изобретения. Если история геометрии почти неотделима от истории теоретической физики, то теория чисел почти ничего не взяла из нашего опыта жизни в реальном мире.»

Насколько я понимаю, у математиков давний спор о том, придумывают они новые объекты или открывают их. Оказывается, это зависит от раздела математики!

B конце Манин предлагает некие «Размышления об арифметической физике». Видимо, это развитие идеи, что теорию чисел нужно приспособить к физике, чтобы она не оставалась в платоновском мире идей. Но вы останетесь разочарованы, там речь про непонятные специальные вещи, струны, Полякова и т.п.

* * *

4. Манин много говорит о важности действия (в смысле — физической величины), полагая его самым фундаментальным понятием физики. Интересно, откуда это? С таких позиций написан Ландавшиц, и обычно это считают причудой гениев.

«Действие первично; энергия есть всего лишь его производная по времени. В следующей фундаментальной теории действие останется, тогда как энергия станет квазиклассической величиной.»

* * *

5. Манин говорит о том, что математика существует в головах у математиков, а если вам такая формулировка не нравится, то у вас есть аж три альтернативы: (а) математика — это математическая литература (б) математика как нечто связанное с физическим миром [типа 2 х 2 = 4 как эксперимeнтальный факт] (в) представление о математике, заранее существующей в платоновском мире идей, которую математик не придумывает, а открывает. Не то, чтобы это был большой хидуш, но вот я настолько привык к мысли, что наука=научная литература, что идея о том, что наука — это нечто, существующее в головах ученых, для меня как бы новая [как я выше сказал, я привык так думать об Устной Торе], она противоречит идее «не опубликовано, следовательно, не существует».

* * *

6. Любопытное рассуждение о том, почему основания математики, вызывавшие такие споры в начале ХХ века, во времена Пуанкаре, в наше время никого особенно не волнуют. Манин сравнивает это с потерей интереса к современному искусству [Думаю, и то и другое связано со становлением модернизма, по мне так после 1920х вообще ничего нового не придумано].

* * *

7. Манин также говорит о споре, нужно ли учить школьников доказательствам: «Существенным возражением является то, что упор на доказательства нарушает баланс между базисными ценностями. Доказательство как таковое является производным от идеи истинности. Но существуют ценности и помимо истины: деятельность, красота, понимание; все они не менее важны при обучении в школе. Учитель (или университетский профессор), этими идеями пренебрегающий, обречен на тяжелую неудачу.»

* * *

8. Так что же такое «метафора»? Как понять — «математика как метафора»?

Интересно рассуждение о том, что математику «удобно рассмотреть в трех модальностях: как модель, теорию и метафору«. Модель, по его понятиям, это нечто не претендующее на точность, вроде математических моделей в социологии [т.е. феноменологическая модель]. Теория, по Манину — это нефеноменологическая модель: «Современная физическая теория обычно утверждает, что она описывала бы мир с абсолютной точностью, если бы он состоял из объектов какого-то одного вида: материальных точек, подчиняющихся исключительно закону всемирного тяготения, электромагнитного поля в вакууме и т. п.» Самое интересное это, конечно, про метафору. Пример — метафора искусственного интеллекта. Это вроде бы центральная тема книги. Манин не дает определения метафоры, лишь цитируя некоего Дж. П. Карса, что «Метафора есть соединение похожего с непохожим, при котором одно не может превратиться в другое. В своей основе всякий язык имеет характер метафоры, поскольку независимо от своих намерений он всегда остается языком и тем самым совершенно непохожим на то, что он описывает. На невозможности высказать природу основана сама возможность существования языка»

И далее: «Рассматривая математику как метафору, я хочу подчеркнуть, что интерпретация математического знания является актом в высшей степени творческим. В некотором смысле математика –– это роман о природе и человечестве. Точно сказать, чему именно нас учит математика, невозможно так же, как невозможно сказать, чему нас учит «Война и мир». Само это обучение погружено в процесс рефлексии по его поводу. Может показаться, что это мнение идет вразрез с освященной временем традицией применения математики к научным и техническим вычислениям; на самом деле я всего лишь хочу восстановить некоторый баланс между технологической и человеческой сторонами математики.»

Вот для меня, например, «метафора» это нечто, противопоставленное «метонимии». Чтобы показать, что искусственный интеллект или колмогоровская сложность являются метафорами, по мне так нужно показать, что они не является метонимией. Пример математической метафоры, к которому М. постоянно возвращается — колмогоровская сложность.

Я, кажется, понял центральную идею этой книги. Манин считает, что язык это метафора. Почему? Потому что метафора это якобы «соединение похожего с непохожим, при котором одно не может превратиться в другое. » Речь — это как бы метафора того, о чем говорится. Например, если вы говорите «Вася пошел в школу» то это предложение является метафорой Васи, идущего в школу. А раз речь — метафора, значит и язык — метафора. А математика похожа на язык, поэтому она тоже — метафора.

Я с такой постановкой вопроса категорически не согласен. Во-первых, так все можно назвать метафорой. Ложка — метафора тарелки, а розетка — метафора вилки, а папа — метафора мамы. А что: ложка не похожа на тарелку, они соединены, выходит, «соединение похожего с непохожим, при котором одно не может превратиться в другое»!

Кроме того, нужно разобраться еще, у любой ли речи есть означаемое (см пункт 1 выше).

На самом деле (как учат первокурсников в курсе «Поэтики и стилистики» на филфаке), метафора это троп, и там главное — сопряженность признака. «Зеркало реки» — метафора, потому что у зеркала и у реки есть общий признак — отражение. В то же время это не метонимия (скажем, не синекдоха, часть вместо целого), для которой характерен смежный, а не сходный признак. Кстати, «пакет молока» — это метонимия, а не то, что он написал.

* * *

9. Манин, говоря о языке, большое внимание уделяет попыткам некой формализации семантики. Интересно, что он упоминает сосcюровскую оппозицию языка и речи, но другую оппозицию из курса языкознания для первокурсников — «значение и смысл» — почему-то обходит. Вместо этого говорит о модели «Смысл ↔ Текст». Все ли тексты имеют смысл?

«Открытость языка: на каждый момент времени не все грамматически правильные тексты осмыслены. (Эта краткая констатация нуждается в тщательном обсуждении. В модели «Смысл ↔ Текст» полагается, что любой правильный текст может быть переведен в правильный текст на языке смыслов, но среди последних есть «бессмысленные» в неформальном понимании этого слова: интересующая нас категория, стало быть, переводится на другой уровень.). Эта открытость естественного языка является исключительно важным резервом его творческого использования не только в поэзии и философии, но и в науке. Для выражения вновь возникающегосмысла может быть использован ранее неосмысленный текст («волна вероятности» в квантовой механике или более прозаический «пакет молока»).»

Но так ли это? Каким же образом удается перевести «Варкалось. Хливкие шорьки пырялись по наве, и хрюкотали зелюки, как мюмзики в мове.»? (Оригинал: «Twas brillig, and the slithy toves Did gyre and gimble in the wabe; All mimsy were the borogoves, And the mome raths outgrabe.»). Может быть у исходного текста все же есть некий смысл, хотя нет значения?

Честно говоря, я подозреваю, что у любого текста есть смысл: даже, не только у ничего не значащего, но и у грамматически неправильного. Можно перевести на другой язык бред сумасшедшего, можно нечленораздельные междометия, можно грамматически ошибочный текст. А значит смысл есть.

А модель «Смысл ↔ Текст» это некая конкретная советская система машинного перевода, которую абсолютно все современные лингвисты называют устаревшей и тупиковой ветвью. Манин этого не понял. Те, кто говорит, что язык — это метафора, или кто не понимаeт разницы между значением и смыслом — не учились на первом курсе Филфака («Поэтика и стилистика», «Введение в языкознание»). А если у них язык хорошо подвешен, развита логика и много занимательных историй и примеров в загашнике, как у Манина, то они могут такого нагородить!

Меня учили в таком духе, что когда бабушка кричит из окна внуку во дворе «Вася, иди домой!» то значение — что Вася должен идти домой, а смысл — что стало холодно или пора обедать. Когда девушка томно поводит глазами и говорит «ах, что-то тут жарко!» и расстегивает верхнюю пуговицу, то значение — что жарко, а смысл может быть «посмотрите на мое декольте!» 🙂

Хороший перевод должен учитывать смысл, а не только значение. У «варкалось, хливкие шорьки» тоже есть смысл.

Я не помню, соcсюровская это оппозиция («значение vs. смысл») или нет, но она имеет отношение к семантическому треугольнику Фреге и активно используется в семиотике, феноменологии и эпистемологии в ХХ веке.

* * *

10. Совершенно гениальное (по-моему) про язык научных текстов и язык математики, и что является его означаемым:

Он задается вопросом о семантике математического языка и его связи с естественными языками, по-видимому, представляя их в виде соотношения «текст-смысл». Pеферирует ли математический язык естественный, или некую особую математическую реальность, или еще что-то? Или, наоборот, естественный язык реферирует математический? Или они оба описывают реальный мир, просто по-разному?

«Мы должны подчеркнуть еще раз следующую точку зрения: семантикой словесного описания какого-то фрагмента физики является, в общем, не соответствующий комплекс явлений природы, а соответствующий фрагмент теории, семантика которой, в свою очередь, эксплицируется через другие фрагменты теории, операциональные предписания и т. п. Тем не менее, побуждение интерпретировать непосредственно языковые выражения может оказаться исключительно плодотворным. Так были открыты кварки: когда выяснилось, что пространство некоторых внутренних степеней свободы нуклона разлагается в тензорное произведение трех подпространств, возник соблазн рассматривать эти три подпространства как внутренние степени свободы трех новых частиц, из которых состоит нуклон.»

То есть физика описывает не природу, а физическую теорию! Которая сама является текстом на некотором языке, состоящем из экспериментов, измерений, и подобных синтаксических элементов. (Вспоминаем концепцию «Книги Природы» и споры времен Ньютона и Яна Коменского). Но иногда вдруг возникают ожившие метафоры.

Рассуждая о «необъяснимой эффективности математики в физике», М. связывает ее с трудностями проблемы машинного перевода: «характерная для человеческих языков сопротивляемость к алгоритмической обработке является, возможно, глубинной причиной того, что только математика способна обеспечить адекватный язык для физики. Не то чтобы нам не хватало слов для выражения всех этих E = mc2 и ReiS(ϕ)Dϕ –– слова-то как раз есть, и они легко придумываются, но мы так бы ничего и не могли делать с этими великими открытиями, если бы для их описания мы располагали исключительно словами» .

* * *

11. Просто разные красивые мысли:

A) «К самым известным парадоксам, к которым приводит такое [в терминах дискретных автоматов] описание, относится гипотетическая картина разворачивания двойной спирали в процессе репликации. В этой картине двойная спираль бактериальной хромосомы закручена примерно на 300 000 оборотов. Так как ее удвоение в благоприятных обстоятельствах занимает 20 мин, согласно механической модели репликации, при разворачивании спирали часть хромосомы должна вращаться со скоростью, не меньшей 125 оборотов»

Где-то я это слышал. Кажется, юзер XXX говорил, что ДНК излучают на определенной частоте и клетки общаются по радио, ну да. То у вас собаки лают, то у вас руины говорят. 🙂

B) У чисел нет названий. Названия — у цифр. Скажем, слово «восемь» означет цифру 8, а не число 8:

«На этом уровне система названий чисел в естественном языке перестает быть лингвистическим материалом: «тысяча девятьсот восемьдесят четыре» есть собственно название десятичной записи 1984, а не числа, изображаемого этой записью, т. е. некоторое вторичное явление. (Число 1000 в двоичной записи психологически трудно прочесть, «восемь» воспринимается сейчас скорее как имя цифры, чем имя числа.)»

Лингвисты не согласятся, но что-то в этом есть,. К тому же Манин формулирует осторожно: «воспринимается сейчас скорее как».

C). Про солитоны и ур-е Кортевега-Де-Фриза:

«Небольшая историческая справка о первооткрывателях солитона, содержащая нравоучительные детали. Дидерик Иоханнес Кортевег родился в 1848 году и умер в 1941 году в Голландии. Он был известным ученым, и его памяти посвящено несколько некрологов. Ни один из некрологов даже не упоминает работы, в которой был открыт солитон. Сама эта работа представляет собой, в сущности, отрывок из диссертации Густава де Фриза, выполненной под руководством Кортевега и защищенной 1 декабря 1894 года. Де Фриз был гимназическим учителем, и о нем почти ничего не известно.»

Но солитоны все же эксперимeнтально открыл инженер Джон Скотт Рассел в 1834 году на канале в Эдинбурге,за 60 лет до описываемых событий. 🙂

D) Много про некие геометрические представления СТО и про некий «рай Пенроуза».

«Таким образом, удобно различать «абсолютный небосвод» в точке P0 –– базу приходящей полы светового конуса, и небосвод мгновенного наблюдателя в этой точке –– проекцию абсолютного небосвода в физическое пространство этого наблюдателя. В классической космографии небосвод вполне можно представлять себе как хрустальную сферу неопределенного радиуса; между точками небосвода определены угловые расстояния, и геометрия небосвода совпадает с геометрией твердой сферы. Но для другого наблюдателя угловые расстояния между звездами будут иными; летя с очень большой скоростью в направлении созвездия Ориона, мы увидим, что оно сожмется в овчинку, а противоположная небесная полусфера растянется (астрономы называют это аберрацией). Таким образом, математическая структура «абсолютного небосвода» не совпадает со структурой евклидовой сферы: угловые расстояния на ней не имеют смысла, не зависящего от наблюдателя. Подробное исследование показывает, что естественная структура абсолютного небосвода –– это комплексная сфера Римана: плоскость комплексных чисел, дополненная бесконечно удаленной точкой, причем различие между конечными и бесконечной точками забыто. Более точно сфера Римана –– это множество одномерных векторных подпространств в двумерном комплексном векторном пространстве, или комплексная проективная прямая CP1. В частности, естественные координаты звезд на небе ––это комплексные числа. Выберем три опорные звезды и припишем им координаты 0, 1, ∞. Тогда имеется несложная процедура, позволяющая по результатам наблюдений поставить в соответствие любой четвертой звезде комплексное число z, и оно получится одним и тем же, какой бы наблюдатель в данной точке Мира ни измерил положение звезды….
…Матрица (a b; c d) с определителем единица является необычным представителем преобразования Лоренца, связывающего две инерциальные системы координат в одной точке Мира. В современной физике это представление группы Лоренца, однако, гораздо более фундаментально, чем обычные матрицы пересчета систем координат»

Про Пенроуза:

«Сам «рай Пенроуза» H = CP3 (пространство, где помещаются все небеса, но ничего не осталось от пространства-времени, естественно назвать раем), как оказалось совсем недавно, очень полезен для изучения уравнений Максвелла и их обобщений –– уравнений Янга––Миллса, которые, как теперь предполагается, описывают глюонные поля, связывающие кварки в нуклоне. Имеются глубокие физические основания считать, что мир, заполненный лишь излучением (или частицами, летящими с околосветовыми скоростями, почти вдоль световых конусов), должен лучше описываться в терминах геометрии H, чем уже привычного нам вещественного четырехмерия.
К пространству-времени нас привязывает масса, она мешает нам лететь со световой скоростью, когда время останавливается, а пространство теряет смысл. В мире света нет ни точек, ни мгновений; сотканные из света существа жили бы «нигде» и «никогда», лишь поэзия и математика способны говорить о таких вещах содержательно. Одна точка CP3 есть вся история жизни свободного фотона –– самое маленькое «событие», которое может произойти со светом
»

E) . » Но мы вредим себе, пытаясь описать квантовые внутренние степени свободы неловкими словами вроде «значение проекции спина на ось z» –– вектор спина находится в совсем другом пространстве, чем ось z.»

F) «..я бы привел огонь в качестве примера загадочных явлений. Огонь совершенно невозможно объяснить. Огонь –– это соединение специфических факторов…Но я хотел бы подчеркнуть, что всякий огонь имеет человеческие масштабы. Невозможно зажечь огонь размером в одну десятую миллиметра» (это цитата из рецензируемой Маниным книги)

G) ««Сосредоточенность объема многомерного тела вблизи поверхности», в сущности, предопределяет существование температуры как макроскопической величины» (он поясняет почему)

H) ««В физических изложениях, подчеркивающих скорее формализм, чем его теоретико-множественную интерпретацию, бывает иногда затемнено описание того, на чем действует группа симметрии. Вот два крайних случая, ведущих, по существу, к разной физике: а) группа симметрии G действует на фазовом пространстве системы и переводит в себя ее фазовый портрет; б) фазовое пространство X системы само представляется в виде множества орбит некоторого другого пространства Y под действием группы G. К случаю а) принадлежит описание рассмотренного выше атома водорода…. К случаю б) относятся так называемые калибровочные теории.»

Share
Статья просматривалась 1 263 раз(а)

3 comments for “Читая «Математику как метафору» Ю. И. Манина

  1. Инна Беленькая
    16 мая 2017 at 12:55

    Сурово вы обошлись братьями Гумбольдтами! А причем здесь его младший брат, в чем он-то виноват? Может, он разделял взгляды старшего брата на «иерархию»?
    Никто не отрицает, что «даже самый примитивный язык любого племени, живущего в каменном веке, это уже полноценный язык со сложными правилами и с многими тысячами слов». Дело в другом. И правила были другие и слова создавались по-другому.
    Но вам ближе идея бесконечности и «возникновения целого сразу».
    Хотя где-то слова Гумбольдта с этими идеями пересекаются: «Ведь язык в своем прошлом также появляется из неведомой сокровищницы, куда можно заглянуть до известного предела, после чего она наглухо закрывается, оставляя по себе лишь ощущение своей непостижимости. Эту беспредельность без начала и конца, освященную только недалеким прошлым, язык разделяет с бытием всего человеческого рода в целом».
    Вы меня извините за длинную цитату, мне просто она очень нравится, и , надеюсь, вам тоже понравится.
    И все-таки, несмотря на это, Гумбольдт проводит такие сравнительные характеристики «первобытных» и современных языков, что за 200 лет его исследования ничего не утратили.

  2. Инна Беленькая
    16 мая 2017 at 7:07

    По-моему, центральный вопрос в этой теме: каким образом язык появился сразу, а не по частям? Манин не только не предлагает ответа на этот вопрос, но даже его не ставит. Ну и бог с ним.
    _________________________
    Уважаемый Михаил, в каком смысле «появился сразу», и что значит «не по частям»? Можно это расшифровать?
    Гумбольдт вот тоже писал, что «сознательным творением человеческого рассудка язык объяснить нельзя». «Чтобы человек мог постичь хотя бы одно слово, …. весь язык полностью и во всех своих взаимосвязях уже должен быть заложен в нем».
    А с другой стороны, он писал о поступательном развитии языка, об особенностях раннего словотворчества и считал, что основной целью нужно «сделать изучение языков первобытных народов и попытаться определить низшее состояние в становлении языка, с тем, чтобы познать из опыта хотя бы первую ступень в иерархии языковой организации.»
    Тут какое-то противоречие, вы не находите?

    • Михаил Носоновский
      16 мая 2017 at 11:15

      Даже самый примитивный язык любого племени, живущего в каменном веке, это уже полноценный язык со сложными правилами и с многими тысячами слов. Никто никогда не видел ни «низшее состояние в становлении языка», ни «первую ступень в иерархии языковой организации». Естественно, что 200 лет назад, во времена братьев Гумбольдтов, это еще не было понятно, отсюда и противоречие.

      Это принципиально отличается, например, от возникновения государства, которое действительно может возникнуть постепенно из до-государственных образований. И от становения большинства других известных нам явлений. На мой взгляд, любая интересная новая теория возникновения языка должна как-то продвигать понимание этого.

      Аналогичная ситуация с возникновением жизни. Чтобы молекула ДНК или РНК могла самовоспроизводиться, она должна быть достаточно сложной и состоять из несколько тысяч нуклеотидов. Вероятность случайного возникновения такой молекулы из неорганики примерно равна нулю. Точнее, согласно главному современному эволюционному биологу Евгению Кунину, 10 в минус 1024 степени, что практически значит ноль. Для объяснения этого противоречия Кунин приплетает антропный принцип и идею множества вселенных, чтобы объяснить возникновение жизни. Если вселенных бесконечное количество, то в одной из них могло произойти событие с вероятностью ноль. Поэтому в этой идее «возникновения целого сразу» как бы сидит идея бесконечности. И от Ю. И. Манина, математика, который много размышляет о бесконечном (например, о Георге Канторе, который ввел современное представление о бесконечном в математику), можно было бы ожидать каких-то интересных идей в этом направлении.

      В Пиркей-Авот приводится красивый, хоть и наивный, пример похожей ситуации: кузнечные щипцы или клещи. Чтобы ковать заготовку, кузнец должен ее удерживать в металлических щипцах, которые тоже должен выковать кузнец до того, используя другие щипцы. Откуда же взялись первые щипцы? Согласно Пиркей-Авот, их создал Бог в посление минуты шестого дня творения, то есть в момент на грани чудесного и обычного мира (в нашем мире ведь продолжается первая суббота, когда Бог отдыхает и не проявляет чудес, кроме экстренных случаев). 🙂 То есть это вещь, созданная в пятницу на закате, с одной стороны не нарушающая физических законов мироздания, но с другой стороны, ее возникновение иначе как чудом не назвать! 🙂

Добавить комментарий