Автор: Физическое содержание понятия «измерения» двояко. С одной стороны, физическое измерение есть совокупность действий, выполняемых с помощью материальных средств. С другой – это совокупность интеллектуальных операций, с помощью которых эмпирический материал, сконцентрированный в чувственно-интуитивных понятиях, сопоставляется с абстрактно-математическими объектами, например, с числом или функцией. В первом случае понятие «измерение» принадлежит эмпирическому уровню знания, во втором – теоретическому.
В содержание понятия «измерение» на теоретическом уровне знания входит отображение эмпирического материала, сосредоточенного обычно в чувственно-интуитивных понятиях на определенный математический объект. При этом под математическим объектом понимается многообразие абстрактных элементов (лишенных какой бы то ни было физической природы), наделенное (многообразие) определенной логико-математической структурой.
Таким образом, физическое измерение на теоретическом уровне знания означает отображение эмпирического материала о предмете чувственных восприятий, добытого (отображение материала) либо с помощью непосредственных физических наблюдений, либо физических наблюдений, опосредованных на абстрактную логико-математическую схему. Иначе говоря, общее теоретическое понятие «физическое измерение» означает установление соответствия между элементами предмета наших чувственных ощущений и элементами одного из абстрактно-математических объектов.
С точки зрения алгебры, произвольную математическую операцию можно рассматривать как отображение общего вида, на которое наложены определенные логико-математические ограничения, например, в виде математических аксиом. Нельзя ли отображение, о котором идет речь в теории физических измерений, рассматривать подобным образом?
Здесь есть некоторые проблемы. В математике речь идет об отображении определенного математического объекта в любой другой, но обязательно математический объект. При измерениях же может идти речь лишь об отображении эмпирического материала на вполне определенный абстрактно-математический объект. Чтобы такое отображение оказалось правомерным, на него необходимо наложить еще некоторые ограничения (кроме логико-математических аксиом), которые касались бы самого отображаемого физического эмпирического материала. Это, собственно, и сделал Галилей, присоединив к аксиомам структуры трехмерного математического пространства Эвклида с пифагоровой метрикой
ds2=dx2+dy2+dz2
свой принцип относительности.
Действительно, согласно принципу относительности Галилея-Ньютона две инерциальные системы (или две совокупности эмпирических данных) должны описываться одной и той же абстрактно-математической схемой трехмерного пространства Эвклида. То есть физическое измерение в физике Галилея-Ньютона можно рассматривать как отображение известного эмпирического материала на трехмерное математическое пространство Эвклида.
При переходе от физики Галилея-Ньютона к специальной теории относительности группа эвклидовых преобразований переходит в группу преобразований Лоренца, вследствие чего абстрактно-метрическое пространство Эвклида заменяется метрическим пространством Минковского с метрикой
ds2=c2dt2 – (dx2+dy2+dz2)
Замена принципа относительности Галилея-Ньютона на принцип относительности Эйнштейна вследствие нового эмпирического факта постоянства скорости света характеризует изменение физических ограничений, накладываемых на отображение. Физическое измерение в рамках специальной теории относительности выступает как отображение расширившегося эмпирического материала на новый абстрактно-математический объект – метрическое пространство Минковского.
Если физический материал по своей природе дискретен, то обычно выбирается один из математических объектов, часто с арифметической структурой, и устанавливается соответствие между элементами физического материала и элементами абстрактно-математического объекта. При этом, если удовлетворяются условия симметричности, транзитивности и рефлективности, то говорят о тождественности. Если же физический материал по своей природе непрерывен, то полагают, что его можно дробить до бесконечности, и подбирают соответствующий континуальный абстрактно-математический объект, например, абстрактно-метрическое пространство.
В зависимости от типа абстрактно-математического объекта, на который отображается эмпирический материал, общее теоретическое понятие физического измерения может быть:
1) Арифметизацией, если эмпирический материал о предмете физических наблюдений отображается на абстрактно-математический объект структуры Дедекинда-Пеано, лежащей в основе теоретической арифметики. В структуре Дедекинда-Пеано выделена система основных понятий: о натуральном числе, о следовании одного числа непосредственно за другим в натуральном ряду, о начальном члене натурального ряда (это может быть как 0, так и 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами:
а) есть натуральное число;
б) за натуральным числом следует натуральное число;
в) 1 не следует ни за каким натуральным числом;
г) если А следует за Б и за В, то Б=В;
д) аксиома полной индукции.
2) Величинизацией, если эмпирический материал о предмете физических наблюдений отображается на абстрактно-математический объект структуры, построенной системой аксиом, образующих математическое понятие «величина» (см. http://blogs.7iskusstv.com/?p=43303).
3) Топологизацией, если эмпирический объект отображается на абстрактно-математический объект, структура которого образует топологическое пространство, то есть множество, в котором определены предельные отношения, состоящие в том, что для каждого множества А определено его замыкание /А/, образованное элементами А и предельными точками А. В качестве аксиом топологического пространства приняты:
а) замыкание суммы двух множеств есть сумма замыканий этих множеств;
б) каждое множество содержится в своем замыкании;
в)замыкание замыкания А совпадает с замыканием А, то есть //А//=/А/;
г) замыкание пустого множества пусто.
4) Метризацией, если структура абстрактно-математического объекта, на который отображается эмпирический материал, тождественна структуре абстракто-математического понятия «расстояние» или «метрика. Многообразие абстрактных элементов, в котором определена (или в которое введена) метрика, в математике называют абстрактным метрическим пространством – множеством, в котором каждой паре элементов А и Б соответствует число Р(А,Б), называемое расстоянием от А до Б, удовлетворяющее следующим аксиомам:
а) Р(А,Б)≥0;
б) Р(А,Б)=0►А=Б;
в) Р(А,Б)=Р(Б,А);
г) Р(А,Б) + Р(Б,В)≥Р(А,В).
Физическим измерение делает то, что во всех этих процессах отображения отображаемым является эмпирический материал физических наблюдений, а конкретным видом физического измерения – тип логико-математической структуры, на которую данное отображение производится.
См. также:
Общие вопросы теории измерений http://blogs.7iskusstv.com/?p=43394
Измерение и проблема реальности, см. http://blogs.7iskusstv.com/?p=43206
Познание и мышление в процессе измерения, см. http://blogs.7iskusstv.com/?p=43251
Проблема точности измерения, см. http://blogs.7iskusstv.com/?p=43303
Шкалы измерения (по С.Стивенсу), см. http://blogs.7iskusstv.com/?p=43368