О равносильных преобразованиях и устоявшихся заблуждениях

Об этом я как-то писал на старом форуме, но сейчас, когда перед многими стоит проблема вступительных экзаменов, эту историю можно и повторить, тем более, что тема значительно более широкая и не ограничивается только математикой. Если алгебраические выкладки скучны, просьба не читать далее.

Было время, когда школьников мучили требованием обязательно делать проверки после решения уравнений, особенно с радикалами: при возведении в квадрат могли пролезть «посторонние корни», и проверка рассматривалась как необходимый элемент решения. Без проверки уравнение считалось решенным неверно.

Я параллельно с работой в МГУ преподавал тогда в подшефной математической школе №52 и много сил тратил, чтобы объяснить и ученикам, и учителям (на разных методических семинарах), что требовать проверки в общем случае не нужно. Есть равносильные преобразования уравнений, при которых ничего потеряться не может и лишние корни тоже не пролезут. Если обосновать, что все переходы были равносильными, то и дополнительная проверка не нужна. Убедить в этом учителей и завучей было нелегко, потому что в методичках и инструкциях стояло требование проверки. Но все же понемногу и самые непокорные смирялись и признавали свои заблуждения.

Я еще поражался, как глубоко сидят предрассудки в мышлении школьных учителей. Но оказалось, что и университетские профессора не лучше. Следующий случай произошел на университетском вступительном экзамене (МГУ). Один из учеников моего класса попал на устном экзамене к довольно известному тогда математику И. Ш., автору нескольких книг и сборников задач по математике для поступающих. И он практически всем поступающим задавал одно и то же задание — доказать простенькую теорему о равносильности: если уравнение с неотрицательными левой и правой частями возвести в квадрат, то получится равносильное уравнение.

Большинство эту «школьную» теорему успешно доказывали, и тогда торжествующий экзаменатор приводил пример уравнения:

кв.корень из(х2 -4) = кв.корень из(3х). Здесь х2 — это х в квадрате.

Если возвести в квадрат, то получится квадратное уравнение х2-4=3х, которое имеет два корня х=4 и х=-1, при этом х=-1 — посторонний для исходного уравнения, так как под корнем не могут стоять отрицательные числа.

Несчастные абитуриенты только хлопали глазами, ведь им в школе твердо говорили, что эта теорема верна, они и сами ее доказали, а тут такой конфуз! Экзаменатор же тем временем выводил в экзаменационном листке «2» и приглашал следующего.

Мой ученик, получивший таким образом «пару», даже не успел возразить экзаменатору, и тогда прямиком пошел в апелляционную комиссию, как его и учили в школе. Надежда на апелляцию была невелика, но надо было попробовать, тем более апелляция принималась только сразу после экзамена.

В комиссии над моим учеником сначала посмеялись: чего же он хочет, если при возведении в квадрат появляется лишний корень, это же очевидно и невозможно опровергнуть. И тогда моему ученику пришлось вспомнить все, чему я его учил. Три часа потребовалось ему, чтобы убедить комиссию, а потом и вызванного с экзамена Ш., что все они заблуждаются, и теорема все же верна!

Чтобы понять, в чем же тут дело, сделаю общее замечание.

Часто, рассматривая некоторую «операцию» А, не замечают, что фактически имеют дело не с одной операцией, а с двумя, например, А и В, просто операция «В» такая «банальная», что ее как бы не замечают. А она как раз меняет все дело.

В примере с теоремой равносильности Ш. говорил о «возведении уравнения в квадрат» (операция А), а фактически применял две операции, чтобы из исходного уравнения с радикалами получить квадратное уравнение х2-4=3х:
первая операция — это, действительно, «А», т.е. возведение в квадрат, а вторая, неявная, операция «В» — это «освобождение от радикалов», когда квадрат квадратного корня заменяется подкоренным выражением.

Так что на самом деле в процессе решения было две операции: «А», которая приводит к равносильному уравнению, и «В», которая неравносильна и подсовывает лишний, «посторонний» корень х=-1. И никакое это не опровержение доказанной теоремы о равносильности, и двойки, поставленные несчастным абитуриентам, несправедливы!

Моему ученику двойку исправили на пятерку (неслыханный случай в практике апелляционных комиссий МГУ).

А общий вывод из сказанного, далеко выходящий за пределы математики, состоит в следующем: наложение «банальных» преобразований может радикально изменить результат, и их нельзя упускать из внимания при логических построениях.

Share
Статья просматривалась 1 057 раз(а)

4 comments for “О равносильных преобразованиях и устоявшихся заблуждениях

  1. Игорь М.
    28 июня 2014 at 15:04

    >>… тогда получится…
    Не получится.
    «Уж сколько раз твердили миру»… Ой, нет, не так… Уже склько десятилетий назад Пётр Иваныч учил, напутствуя на олимпиаду (да я и сам потом учил): Замена √x2≡|x| есть тождественное преобразование, а замена √x2 на x таковым не является. Освобождение от радикала (без «в знаменателе») как и «теорема неверна» (ложное утверждение не есть теорема) усиливаит впечатление беспредметности заметки.

  2. Александр Биргер
    25 июня 2014 at 20:13

    » Один из учеников моего класса попал на устном экзамене к довольно известному тогда математику И. Ш., автору нескольких книг и сборников задач по математике для поступающих. И он практически всем поступающим задавал одно и то же задание – доказать простенькую теорему о равносильности: если уравнение с неотрицательными левой и правой частями возвести в квадрат, то получится равносильное уравнение…» — можно догадаться , кто такой И.Ш. И всё это очень ясно доказывает , что даже большой авторитет (вроде И.Ш.) , слепо следующий ложным «авторитетам» , может легко перепутать , а , возможно, умышленно , пользуясь фальшивыми формулировками, поменять «5» на «2» (а , при желании — наоборот) . «Вывод . . ., далеко выходящий за пределы математики.»
    «Бывают случаи, когда “опровергающий пример” опровергает вовсе не то утверждение, для которого он был создан, а другое, о котором мы и не думали, настолько оно банальное.»
    Мне всё это , включая Ваш комментарий , показалось необычайно интересным ; но , возможно , я несколько и преувеличил свои поблёкшие совсем (за столько лет) знания алгебры. И все мои выводы — ложные. 🙂 За пост — спасибо. Хочется больше таких заметок — математика и логика , оказывается , действуют освежаЮще.

  3. Ефим Левертов
    25 июня 2014 at 19:25

    Я помню, как один ученик пытался доказать мне, что 2=4:
    3-2=1
    3-4=-1
    Возведем 1 и -1 в квадрат. В обоих случаях получим по 1.
    Следовательно, 2=4.

  4. Евгений Беркович
    25 июня 2014 at 11:02

    Бывают случаи, когда «опровергающий пример» опровергает вовсе не то утверждение, для которого он был создан, а другое, о котором мы и не думали, настолько оно банальное.

Добавить комментарий