Евгений Беркович

Восьмое марта

 

Да простят меня Прекрасные Дамы, но о празднике Восьмого марта у меня сохранились воспоминания, лишь косвенно связанные с Женским днем. Просто именно в этот день меня посетила одна Прекрасная Оригинальная Мысль (ПОМ). В этом словосочетании важны оба первых слова. В течение жизни в голову каждого человека приходит множество прекрасных мыслей, но они редко бывают оригинальными. До этого они приходили в голову и другим людям. А вот оригинальные мысли, которых тоже немало наберется у каждого, далеко не всегда заслуживают эпитета «прекрасные».

Говоря о редкости такой гостьи, как ПОМ, я имею в виду не только свою скромную персону. Про великого Эйнштейна ходит несколько исторических анекдотов, где он говорит о том, что гениальные мысли приходят так редко, что их можно записать на папиросной коробке. Правда, иногда случались флуктуации, как было в 1905 году, когда Эйнштейн в течение нескольких месяцев опубликовал три работы, за каждую из которых ее автор удостоился бы на все времена эпитета «гениальный». Недаром историки науки назвали тот год «годом чудес». А вот после открытия общей теории относительности в 1915-1916 годах подобного уровня гениальные мысли не посещали великого физика уже до самой смерти в 1955 году.

Конечно, невозможно сравнивать идеи гения со скромными достижениями рядового исследователя. Но для каждого человека, занимающегося наукой, приход своей ПОМ – такое событие, что оно освещает всю его последующую жизнь.

Ко мне моя первая ПОМ зашла восьмого марта 1966 года, и этот день мне хорошо запомнился. Тогда всё только начиналось. Мне исполнилось двадцать лет, несколько месяцев назад женился, мы с женой осваивали новую уютную квартирку на пятом этаже «хрущевской», хоть и построенной уже после снятия Хрущева, пятиэтажки в Давыдково, которая казалась верхом совершенства и роскоши (что по тем временам было не очень далеко от истины).

На физфаке в начале весеннего семестра произошло распределение студентов по кафедрам, и я вместе с десятью другими счастливчиками попал на вожделенную кафедру математики. На курсе нас училось 550 человек, так что градус конкуренции каждый может себе легко представить. Вместе с кафедрами теоретической физики, квантовой механики и биофизики кафедра математики относилась к самым престижным на факультете.

С этой кафедрой я был связан уже два года, так как уже на первом курсе осознал, что выбор физфака вместо мехмата я сделал не разумом, а чувством, после прочтения «Ярче тысячи солнц» Юнга и «Иду на грозу» Гранина, а также после десятков просмотров «Девяти дней одного года» Ромма. И хотя я никогда не жалел, что основательно изучил физику, все же в царстве математики я чувствовал себя уютней и свободней. Переход на кафедру математики позволял относительно бескровно исправить «ошибку молодости» ‑ заниматься любимым делом без хлопотного перевода на другой факультет.

Поиск научного руководителя на кафедре я начал довольно рано, когда большинство студентов еще не думали о распределении — во втором семестре первого курса стал просить некоторых преподавателей-математиков о дополнительных заданиях и темах. После двух попыток остановился на Борисе Михайловиче Будаке, доценте и авторе знаменитого задачника по математической физике. Он согласился стать моим проводником по лабиринтам царицы наук. О нем и о его трагической судьбе я расскажу как-нибудь в другой раз, а сейчас отмечу, что Будак вел семинар по задачам оптимального управления (ОУ), посещать который я начал на втором курсе, когда распределение по кафедрам еще не и не обсуждалось.

Задачи оптимального управления, да и вообще все экстремальные задачи, т.е. задачи поиска максимума или минимума различных функций, были очень популярны в то время. Можно сказать, что идеи оптимизации буквально носились в воздухе, словечки «оптимальный», «максимальный», «минимальный» так и сыпались из уст разных ораторов вплоть до первых лиц государства. Нередко можно было услышать и бессмыслицы типа «добьемся максимума производительности при минимуме затрат», но это обычные издержки излишней популяризации науки.

Дело в том, что буквально за несколько лет до описываемых событий, в 1960 году, прошло Всесоюзное научное совещание по применению математических методов в экономических исследованиях и планировании. На нем столкнулись две непримиримые силы: консерваторы-сталинисты и прогрессивные экономисты и статистики, поддержанные математиками. Консерваторы утверждали, что математика в экономике не просто бесполезна, но вредна. Их противники, возглавляемые Новожиловым и Новоселовым со стороны экономики и Канторовичем со стороны математики, напротив, обещали, что применение математики в экономике и планировании сделает задачи социалистического государства легко реализуемыми, а оптимальный пятилетний план позволит без большого труда достичь заветной цели – коммунизма.

Время показало, что и те, и другие были тогда неправы, но победили «прогрессисты». Он убедили руководство страны в том, что правда на их стороне, и в результате как грибы после дождя стали создаваться всевозможные Вычислительные центры и институты математической экономики. За плечами Канторовича уже были экономические задачи, успешно решенные с помощью математики: в 1938 году он в порядке выполнения хоздоговорной работы по заданию Фанерного треста решил задачу оптимальной загрузки лущильных станков, заложив, как оказалось, основы линейного программирования (ЛП). Результаты своей работы Канторович опубликовал в одной брошюре, которая осталась неизвестной ученым на Западе. Данциг потом в годы Второй мировой войны «переоткрыл» результаты Канторовича, но вынужден был признать его приоритет, когда ознакомился с переводом той старой брошюры. За эти результаты Канторович в 1965 году получил Ленинскую премию, а в 1975 – Нобелевскую.

Об этом тоже стоит рассказать подробно, но не здесь и не сейчас, а пока отметим, что на семинаре Будака мы рассматривали задачи более сложные, чем линейное программирование. Ведь в ЛП решение ищется как конечномерный вектор, а оптимальное управление – это функция времени, т.е. принадлежит бесконечномерному пространству.

Такими задачами вплотную занялись тоже недавно, в конце пятидесятых, начале шестидесятых, и главным результатом в этом направлении считался Принцип максимума Понтрягина. Тогда думали, что это абсолютно новый подход к необходимым условиям оптимальности, отличный от классического условия экстремума (кто еще помнит, для дифференцируемой функции производная в точке максимума или минимума равна нулю). Потом трудами Дубовицкого и Милютина выяснилось, что никакой «своеобычности» тут нет, и принцип максимума может быть выведен все из того же обобщенного условия экстремума. Тем не менее, в 1962 году, когда я поступил в университет, группа Понтрягина получила Ленинскую премию.

Все это я рассказываю для того, чтобы читатель убедился: проблематика оптимального управления была актуальна, интересна и непроста. Одной из нерешенных тогда задач было обоснование численных методов решения задач ОУ.

На практике бесконечномерные задачи решаются, как правило, сведением их к конечномерным. Ведь в цифровые вычислительные машины, которые тогда только входили в повседневную жизнь, не «засунешь» функцию времени, а только набор ее значений в отдельные моменты, т.е. бесконечномерный вектор заменялся конечномерным, хотя и большой размерности. Такой процесс называется аппроксимацией. Он давным-давно применялся при решении дифференциальных уравнений, стали классикой такие алгоритмы, как метод Эйлера или метод Рунге-Кутта. Их обосновали, т.е. показали, что с увеличением размерности решения конечномерных задач все точнее приближаются к решению исходной. Для дифференциальных уравнений существовали стандартные пакеты программ разностной аппроксимации, и вся эта тематика считалась с научной точки зрения практически закрытой.

Совсем иное было с экстремальными задачами, связанными с теми же дифференциальными уравнениями. Такие бесконечномерные задачи тоже можно заменить конечномерными, но никто тогда еще не обосновал, что подобный подход допустим, т.е. что решения конечномерных экстремальных задач будут стремиться к решению исходной, бесконечномерной задачи ОУ, если бесконечно увеличивать число точек по оси времени.

Обосновать конечно-разностные методы для решения задач ОУ и предложил на семинаре Борис Михайлович Будак своим слушателям. Вот я и сидел последние дни над этой проблемой, ощущая себя полным ничтожеством, так как не то что «прекрасные» мысли, но и вообще ничего в голову не приходило, что могло помочь доказать сходимость.

А тут еще Восьмое марта! Вечером в гости пришли родители жены, обычный праздничный стол… Когда гости разошлись и посуда была убрана, я снова сел к своим листочкам и решил идти от простого к сложному. Я начал с простого модельного примера. Вот исходная задача оптимального управления, а вот ее разностные конечномерные аппроксимации. Как показать, что одно от другого недалеко ушло, и с увеличением точности аппроксимации расхождения сокращаются? И вот тут, вечером этого праздничного дня (тогда он, кажется, еще не был выходным), пришла та самая Прекрасная Оригинальная Мысль, и доказательство для конкретного примера было получено. Идея оказалась простой: сначала показать, что оптимальное значение функционала исходной задачи не может быть меньше предела оптимальных значений функций в аппроксимирующих задачах, а потом доказать, что справедливо и обратное: предел оптимальных значений функционалов в аппроксимирующих задачах не может быть меньше оптимального значения функционала исходной задачи. Стало быть, эти значения равны. Обобщить этот подход на общий случай не составляло труда – в рассуждениях даже не нужно было ничего менять.

Я еле дождался утра, чтобы позвонить шефу и сообщить о том, что проблема обоснования решена. Он очень серьезно отнесся к моему сообщению и предложил встретиться на следующий день. Я сразу и не осознал, зачем так долго ждать, ведь все теперь ясно.

Только потом я уразумел, для чего нужна была Борису Михайловичу эта пауза, и какой, на самом деле, мощный аппарат был открыт мною в тот день. В последующие годы этот подход удалось применить к самым разным задачам, он лег в основу нескольких десятков публикаций в серьезных научных журналах, а впоследствии на его базе удалось построить общую теорию аппроксимации экстремальных задач и получить не только достаточные, но и необходимые условия аппроксимации. Но осознал я это много позже, а от того времени осталось чувство, что подобные прекрасные и оригинальные мысли будут ко мне приходить так часто, как захочу. Нужно только собраться и начинать двигаться от простого к сложному. И еще одно запомнилось: ощущение потрясающей легкости и удивление, что такая простая мысль оказалась не просто прекрасной, но и оригинальной.